J’adore les Mathématiques !


Est-ce que vous n’avez pas

envie  d’étudier les courbes et les surfaces avec moi ?


Voici une très jolie courbe :


  La Parabole


Cette parabole a pour sommet l’origine et passe par les points de coordonnées
respectives (2;4) et (-2;4).

1) Quelle est son équation ?

2) Quelle fonction représente-t-elle ?


On sait qu’une parabole de sommet l’origine, ayant Oy comme axe de symétrie a une équation du type

  y = a x2 . Comme, pour x = 2,   y = 4   on a  4 = a .4

D’où a = 1 . Alors son équation est :  y =  x2   et


elle représente donc la fonction définie sur R par

                 f(x) =  x2     (fonction « carré »)

                                                                                                                 f définie sur R par f(x) = ½ x2




En fait, en donnant à  a   toutes les valeurs réelles, on obtient toutes les paraboles d’axe vertical de sommet O.

Toute fonction g du second degré, donc définie par g(x) = ax2  + bx + c , est représentée par la parabole Q obtenue à partir de celle d’équation  de  y = ax2 , notée P , par la translation de vecteur U(α, β) …..une fois qu’on a mis g(x) sous forme canonique:

                                        g(x) = a(x -α)2 + β  


Ainsi, par exemple, si g(x) =   x2  -  2x + 6 , ont met g(x) sous la forme :


    g(x)  =  (x-1)2 + 5 de sorte que g est représentée par la parabole de sommet
S(1, 5) qui se déduit de la parabole ci-dessus par la translation qui transforme le point O en le point S.


Preuve     (pour ceux et celles qui veulent faire de la science et donc ne pas croire sur parole !)


On considère le nouveau repère (S,i,j)  (le repère actuel étant (O,i,j) ).


On sait que tout point M de coordonnées (x;y) dans l’ancien repère et (X;Y) dans le nouveau repère  a ces coordonnées qui vérifient :


  x = α+ X     et y = β + Y  (voir mon cours filmé de 1èreS « Rappels et compléments »).


Alors, (si P est la parabole de sommet O et Q celle de sommet S), on a :

M appartient à Q  ssi    y = a(x-α)2 + β   ssi  y- β = a(x-α)2  ssi    Y = a X2

Ce qui prouve que Q a, dans le nouveau repère, la même équation que celle de P dans

le repère de départ et donc le résultat.  CQFD


Ainsi la forme et « l’orientation » (concavité vers le haut ou vers le bas) de la parabole
d’équation y = ax2  + bx + c ne dépendent que de a. Les valeurs de b et c ne font que déterminer (pour un a fixé) la position du sommet S.