Voici un exemple pris dans le cours de 5ème actuel. On donne la définition:

On appelle médiatrice d’un segment l’ensemble des points situés à
égales distances des extrémités de ce segment
.

               Cette définition est abominable à plus d’un titre !

D’abord elle ne donne pas la moindre idée de la figure qu’on définit. D’autre
part il est criminel et inconscient de parler, à un enfant de 12 ans, d’une figure
 comme d’un ensemble de points.

Les ensembles de points (ou lieux géométriques) sont très délicats et posent
de gros problèmes aux élèves. Ils ne doivent en aucun cas être abordés avant la classe
de première. Voilà une
définition raisonnable et ce qu’on peut en faire:

On appelle médiatrice d’un segment la droite perpendiculaire à ce
segment et passant par son milieu.

Donnez cette définition à un enfant de 12 ans, il vous tracera instantanément la médiatrice. (Même des enfants
plus jeunes y arriveraient).

Théorème :
Pour tout point M sur la médiatrice du segment [AB] on a MA = MB

Réciproque :

Tout point M tel que MA = MB est sur la médiatrice de[AB]

De plus vous voyez qu’on a ici l’occasion d’exposer une implication et
sa réciproque. On fait observer que l’on peut l’écrire :

Si M est sur la médiatrice de [AB] alors MA = MB   ou aussi bien:

M est sur la médiatrice de [AB] implique MA = MB.

Ce qui précède « implique » est l’hypothèse, ce qui le suit est la conclusion.
L’énoncé réciproque s’obtient en les intervertissant…. Ici, il est exact.

MA = MB implique  M est sur la médiatrice de [AB].

Mais if faut faire immédiatement observer qu’il n’en est pas toujours
 ainsi…. Par exemple :

Si n est un entier : n >  12 implique n > 5  MAIS….:


n > 5 n’implique pas  (en général) n > 12    (par exemple prendre n = 7). On a
l’occasion d’apprendre à l’élève ce qu’est un
contre-exemple.

On lui demande alors de trouver, dans des situations déjà rencontrées, d’autres implications et d’examiner pour
chaque exemple si la réciproque est vraie. Rien qu’avec
les entiers, il est facile d’en trouver.

Par exemple :

Si n est un entier: n est multiple de 14 implique n est multiple de 7.

MAIS: n est multiple de 7 n’implique pas (en général) n est multiple de 14  
(prendre par exemple  n = 21).

On peut alors lui faire comprendre comment s’énonce la négation
d’une implication.

« n est multiple de 7 implique n est multiple de 14 »
(énoncé faux en général)
 
a pour négation:
 « n est multiple de 7 et n n’est pas multiple de 14 »
(énoncé vrai pour n = 21)

J’affirme qu’à l’heure actuelle la grande majorité des élèves de
terminale S ne sait pas énoncer la négation d’une implication.

Enfin, quand tout cela est compris, on peut définir l’équivalence logique. D’abord comme l’affirmation que deux phrases (ou énoncés) sont simultanément vraies ou simultanément fausses. Puis on fera observer
qu’il s’agit d’une implication et de sa réciproque qui sont toutes deux
vraies. Ainsi :

M est sur la médiatrice de [AB]  équivaut à  MA = MB

On pourra ultérieurement, quand tout ceci sera assimilé, revenir sur l’implication pour apprendre les formulations :

« ……Il faut ….. » , « ……Il suffit ….. » ,
« …condition nécessaire …», « …condition suffisante …» ,
« ….si….. » , « seulement si ».

Cette exemple montre comment enseigner une notion de
façon
naturelle et sans formalisme. Rien qu’en
regardant la figure, l’élève retiendra pour toute sa vie la définition posée. De plus une structure logique
fondamentale lui est inculquée de façon très naturelle.


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