Soutien en Mathématiques GRATUIT

pour Terminale S… et Première S

par Gérard Cohen-Zardi

M C F à L'Université Paris VII

pour me contacter :

Sujets de cours délicats

Attention, ceci n’est pas un cours de Maths !....Je me propose ici, d’aider les élèves de Terminale S et de 1^ère S en éclairant certains points des programmes dont ma longue expérience a montré qu’ils étaient mal compris….et mal expliqués.

Je commence avec quelques sujets et j’en rajouterai de temps en temps.

(Faites connaître ce Site à un maximum de personnes)

Première:

Produit scalaire :

La définition, du produit scalaire de deux vecteurs, donnée en 1^ère est la suivante :

Définition : On appelle produit scalaire de deux vecteurs u et v, et on note u.v, le nombre
u .v = 1/2 .(||u + v||² -|| u ||² - || v ||²)

Stupéfaction !....chez les élèves. Qu’est-ce que cela peut bien être ?

Oubliez un instant cette manière « anti-pédagogique » de définir une notion simple.

Voici une définition plus « humaine» :

Définition : On appelle produit scalaire de deux vecteurs u et v , le nombre || u ||. || v || cos(u,v)

Bien sûr l’angle (u,v) n’est pas défini quand u ou v est nul…..mais il est clair qu’on prend alors pour valeur de u.v la valeur 0.

Ainsi u.v est nul dans 3 cas. Si l’un des vecteurs est nul ou si les vecteurs sont orthogonaux.

Ces 3 cas n’en font qu’un, en fait, car on considère que le vecteur nul est orthogonal à n’importe quel vecteur, y compris lui-même.

Quand u = v , u.u est noté u² (carré scalaire) comme alors (u,u) = 0 modulo [2p] ce qui donne u² = || u ||²

On démontre alors un certain nombre de propriétés (voir votre cours).

En particulier, certaines identités dont celle-ci :

(u+v)² = u² + 2 u.v + v² ……d’où on tire

u .v = 1/2 .[(u + v)² - u² - v²]

Et le

Théorème :
Pour tous vecteurs u, v on a : u .v = 1/2 .(||u + v||² -|| u ||² - || v ||²)

Ce qui permet de retrouver la définition déroutante du cours !!!

Trigonométrie :

Il y aurait bien des points à éclaircir sur ce sujet, délicat,…. qui crispe pas mal d’élèves.

Je suppose ici que toutes les formules de trigo sont bien assimilées.

Mon intention, ici, est de préciser comment on doit résoudre certaines équations trigonométriques.

A cette fin on utilise trois équivalences :
(« évidentes »….si on regarde le cercle trigonométrique)

1) cos a = cos b Û a = ± b + 2 k p

2) sin a = sin b Û ( a = b + 2 k p ou a = p - b + 2 k p)

3) tan a = tan b Û a = b + k p

(sous-entendu: il existe un entier relatif k tel que…..)

Comme d’habitude, dans les identités, les lettres peuvent prendre n’importe quelles valeurs, y compris des expressions contenants d’autres lettres.
Dans les équations que nous traiterons, ce seront des expressions en x (x étant l’inconnue).

Ceci étant une « foultitude » d’équations se ramènent à la réalisation de l’une des trois égalités de gauche.
La difficulté consiste donc à se ramener à une égalité de se type. C’est pourquoi la maîtrise des formules et des calculs trigonométriques est indispensable.

Barycentre :

Tout ce que nous allons exposer est valable aussi bien dans le plan que dans l’espace.

(Attention : Je n’ai pas (encore) eu le temps de mettre des flèches sur les vecteurs)

Quand il est question de points et de vecteurs ayez toujours bien en-tête que :

1) Pour 3 points quelconques A , B et M on a toujours AB = MB –MA = AM - BM (vecteurs)

2) Pour 3 points quelconques A , B et M , si I est le milieu de [A B] on a MA + MB = 2 M I (vecteurs)

La notion de barycentre concerne un système de n points pondérés (i.e. : de point affecté d’un coefficient)

Pour faciliter la compréhension, je considère que n = 4 et que les points pondérés du système sont :

(A,a) (B,b) (C,g) et (D,d) . Ainsi j’évite les indexations et les S .

Un tel système étant donné on associe à tout point M du plan (ou de l’espace) un vecteur V_Mdéfinipar :

V_M = a MA +b MB + g MC +d MD (M àV_M s’appelle la fonction vectorielle de Leibniz)

Si N est un second points , on a V_N = a NA +b NB + g NC +d ND d’où l’on tire :

V_M - V_{N =} a (MA – NA) +b (MB –NB) + g (MC – NC) +d (MD –ND)

Ce qui donne (formule rappelée ci-dessus)

V_M - V_{N =} a MN +b MN + g MN +d MN et finalement :V_M - V_N = (a +b + g +d) MN (1)

1^er cas Si a +b + g +d = 0

V_M - V_N est nul pour tous points M et N . Cela signifie que V_M est constant (i.e. indépendant de M).

Donc pour tout M : V_M = V_A=b AB + g AC +d AD = V_B…….etc

2^ème cas Si a +b + g +d ¹ 0

La formule (1) montre que :

D’une part que V_M égale V_Nsi et seulement si M = N . Autrement dit : V_M ne prend jamais 2 fois la même valeur.

D’autre part, en l’appliquant avec N = A , on a V_M = V_A + (a +b + g +d) AM ce qui fait que si on veut que V_M = W
(W étant arbitrairement fixé) ceci se produit uniquement pour :

(a +b + g +d) AM = W – V_A , donc pour l’unique point M tel que AM = 1/(a +b + g +d) . (W – V_A)

Ainsi V_Mprend une fois et une seule toute valeur vectorielle de W.

Il y a donc un unique point G pour lequel V_G = 0 , donc tel que : a GA +b GB + g GC +d GD = 0

Définition : G s’appelle le barycentre du système

D'après (1) , avec N = G et .V_G = 0, V_M = (a +b + g +d) MG . Donc pour tout point M :

MG = 1/(a +b + g +d) V_M = 1/(a +b + g +d) . (a MA +b MB + g MC +d MD)

Ceci vaut, en particulier, quand M = O (Origine d'un repère) :

OG = 1/(a +b + g +d) . (a OA +b OB + g OC +d OD)

Cette formule permet, notamment, d'exprimer les coordonnées de G en fonction de celles de A, B,C.....etc

Je vous renvoie à vos cours pour vous convaincre que tout ce que j’ai exposé est valable avec un système de n points pondérés (A_k , a_k) .

G vérifie alors : S_{1
à n}a_kG A_k = 0 (vecteur nul)

Comme je l’ai dit plus haut, je ne fais pas un cours, mais j’essaye d’éclairer certains points.

Il y a beaucoup de propriétés du barycentre et il faut toutes les connaître.

Par exemple : Pour un système de 2 points (A,a) (B,b) vérifiant a + b ¹ 0 le barycentre est aligné avec A et B.

La plus importante de toutes est la propriété d’associativité.

théorème : Si le système (A_k , a_k) k de 1 à n admet un barycentre G. Si le sous-système (A_k , a_k) k de 1 à p (p<n) admet un barycentre G_1.On ne change pas le barycentre G du système initial, en supprimant les points A_k (k de 1 à p) et en les remplaçant par (G₁ , s) , où s est la somme des coefficients des points supprimés.

Remarque : J’ai numéroté de 1 à p les points supprimés. C’est par commodité ! En fait le théorème est valable pour tout groupe de points du système ……pourvu qu’ils aient un barycentre (donc une somme de leurs coefficients qui soit non nulle).

Ce théorème est très puissant.

Par exemple : considérons un triangle ABC dont I, J et K sont les milieux des côtés (I en face de A…..etc) .

Notons G l’isobarycentre de A , B , C.( i.e. le barycentre de (A,1) (B,1) et (C,1) )

I , milieu de [BC] est le barycentre de (B,1) et (C,1) donc, d’après le théorème, G sera le barycentre de (A,1) et (I,2).

G est aligné avec A et I, il est donc sur la médiane (AI) . Il est , de même, sur les autres médianes.

Ainsi a-t-on prouvé que les médianes d’un triangle sont concourantes en un point G qui est l’isobarycentre des sommets.

G s’appelle le centre de gravité du triangle.

De plus, G étant le barycentre de (A,1) et (I,2) on a GA + 2 GI = 0. Ainsi GA = - 2 GI , ce qui signifie que G est au tiers, à partir de I, de la médiane [A I]

Terminale:

1.Nombres complexes

2.Fonction composée

3.Probabilités Conditionnelles

1) Nombres complexes, points et vecteurs

Notons P l’ensemble des points du plan, V l’ensemble des vecteurs du plans et C le corps des nombres complexes. On se fixe un repère orthonormé (O,u, v) du plan.

(Quand on est dans le « plan complexe » , il ne faut pas noter i et j les vecteurs du repère car ces lettres désignent chacune un nombre complexe…..j = e²ⁱ^p/3 est racine cubique de l’unité). Dans la suite on ne pourra pas utiliser les lettres u et v pour désigner des vecteurs quelconques.

Il y a des correspondances ( le terme mathématique est bijections) importantes à connaître ainsi que leurs propriétés.

A tout point M de P on associe le vecteur w = OM de V, ses coordonnées (x,y) et le nombre complexe z = x + iy.

Bien sûr, si on part de z cela définit le couple (x,y) (avec x = Re(z) et y = Im(z) ) , donc le point M ,
puis le vecteur w = vecteur OM

On peut aussi se donner w dans V et cela détermine M , (x,y) et z .

z s’appelle l’affixe de M et M s’appelle l’image de z. L’affixe de M est noté z_M .

z s’appelle aussi l’affixe de w et se note aussi z_w.

Si w = AB , z se note z_AB ….et tout ceci crée une certaine confusion, voire une incompréhension totale, chez beaucoup d’élèves.

Il faut garder en mémoire le schéma suivant :

Les propriétés à savoir (et à bien maîtriser) figurent plus ou moins, de façon un peu éparpillée, dans les différents manuels. En voici un résumé cohérent :

Une autre correspondance très importante est celle qui associe à toute transformation T géométrique de P une application f de C dans C (et réciproquement) de la manière suivante :

1) Si T est donnée on définit f ainsi :

z étant pris dans C on lui associe son image M dans P puis on prend le transformé
de M par T , M’ = T(M) on pose alors f(z) = z_M’

2) Si c’est f qui est donnée, on définit T de façon analogue :

M étant un point de P on pose z’ = f(z_M) et, par définition, T(M) = M’ où M’ est l’image de z’ .

Ainsi la donnée de T détermine f et réciproquement.

f s’appelle « la transformation complexe » associée à la transformation T du plan.

On a toujours : M’ = T(M) Û z_M’ = f(z_M) . (1)

Ce qu’on peut alléger en posant z = z_M et z’ = z_M’ en :

M’ = T(M) Û z’ = f(z) . (2)

Rappelons, sous la forme (2), celles qui sont associées aux transformations « connues » :

D’abord les transformations directes (celles qui conservent les angles orientés)

1) T est la translation de vecteur w : z’ = z + z₀avecz₀= z_w

2) T est l’homothétie de centre O et de rapport r : z’ = r z

3) T est l’homothétie de centre W et de rapport r : z’ = r (z - z_W) + z_W

4) T est la rotation de centre O et d’angle q : z’ = eⁱ^q z

5) T est la rotation de centre W et d’angle q : z’ = eⁱ^q (z - z_W) + z_W

6) T est la similitude directe de centre O, de rapport r et d’angle q : z’ = r eⁱ^q z

7) T est la similitude directe de centre W, de rapport r et d’angle q :

z’ = r eⁱ^q (z - z_W) + z_W

Il est bon de noter (et retenir !) que les relations définissant f dans ces sept cas prennent respectivement la forme :

1) z’ = z + b b étant un nombre complexe quelconque

2) z’ = az a étant un nombre réel non nul

3) z’ = az + b a étant un nombre réel différent de 1

4) z’ = az a étant un nombre complexe de module 1

5) z’ = az + b a étant un nombre complexe différent de 1 et de module 1

6) z’ = az a étant un nombre complexe quelconque

7) z’ = az + b a étant un nombre complexe quelconque et différent de 1

On remarquera que la dernière formule contient aussi les six autres ; qui en sont donc des cas particuliers.

Il faut savoir retrouver la nature et les éléments de T à partir de ces formules.

Cas 1) b est l’affixe du vecteur w de translation,….d’où les coordonnées de w.

Cas 2) Le réel a est le rapport d’homothétie, le centre est O (origine du repère)

Cas 3) Le réel a est le rapport d’homothétie, le centre W est le point invariant (le seul qui vérifie W = T(W) ) son affixe vérifie : z_W = az_W + b ……d’où l’on tire z_W (puisque a ¹ 1)

Cas 4) L’argument de a est l’angle de la rotation, le centre est O (origine du repère)

Cas 5) L’argument de a est l’angle de la rotation, le centre W est le point invariant, on le trouve comme en 3.

Cas 6) Le module de a est le rapport de similitude, l’argument de a en est l’angle, le centre est O (origine du repère)

Cas 7) Le module de a est le rapport de similitude, l’argument de a en est l’angle, le centre W est le point invariant.

Comme transformation indirecte nous ne donnerons que :

Une similitude indirecte T (conserve les rapports des distances, mais inverse les angles)

La transformation complexe associée est donnée par : z’ = ac(z) + b (où c(z) désigne le conjugué de z)

Rappelons que la transformation complexe associée à T peut servir à trouver la forme analytique de T et réciproquement.

Si T est la rotation R(O,q) la transformation complexe associée est donnée par z’ = eⁱ^q z
Ce qui se traduit par : x’+ i y’ = (cos q + i sin q) (x + iy)

D’où l’on tire : x’ = x cos q - y sin q et y’ = x sin q + y cos q

(en développant le second membre, et en en prenant Re et Im)

2) Dérivation d'une fonction composée

D'abord un petit conseil :

Si vous aves des fonctions f : D_f ---------> R et g : D_g ---------> R
Rappelons qu'on ne peut les composer dans cet ordre (pour obtenir gof) que
si f prend ses valeurs dans D_g(i.e. pour tout x de D_f, f(x) est dans D_g)
Rappelons également que, pour toute fonction h, si on écrit h(x) sans définir x, il est sous-entendu que x est un élément arbitraire de D_h.
N'en déplaise à certains pseudo-rigoristes des Maths, il est tout à fait légitime de définir une fonction h par la phrase:
"Soit h la fonction définie sur R par h(x) = x sin x".
(Le "pour tout x dans R" est sous-entendu !)

Généralement, une fois l'ensemble de définition fixé, f (comme g) est définie par la "donnée"
de f(x) , où x , qu'on a coutume d'appeler la variable, représente un élément arbitraire de D_f.
Mais il est maladroit (et même incorrect...en théorie) d'utiliser, au cours d'un calcul, la même lettre pour la variable de g qui, elle, désigne un élément de D_g !

Dans tous les manuels du secondaire que j'ai consultés ( après avoir défini f sur
D_f = ]- ¥ , 0] par f(x) = x²+ 1 et g sur Dg = ]0, + ¥[ par g(x) =
il est écrit quelque chose du genre:

Calculons gof(x) on a:

Cette fois tout est correct.... et facile.

Venons en à la dérivée de gof :

Rappelons le théoréme:
Si f est dérivable au point x (de D_f) et g dérivable au point f(x) (de D_g) alors gof est dérivable au point x et on a :

(gof)'(x) = g'[f(x)] f'(x)

Cette formule parait assez complexe,...elle prend une forme plus sympathique si on pose
z = f(x). Le second membre s'écrit alors g'(z) f'(x).

Pour calculer la dérivée de gof il vous suffit de :

1) calculer g'(z) , z étant la variable 2) remplacer z par f(x) dans g’(z) 3) Caculer f'(x) 4) Ecrire le produit

Enfin, je vous mets en garde contre une erreur souvent commise. Les conditions données dans le théorème ci-dessus sont suffisantes pour que gof soit dérivable au point x mais non nécessaires, comme le prouve l'exemple suivant :

f(x) = x⁴avec D_f= R... et g(z) = avec D_g= [0 , + ¥[

Si on prend x = 0 , f est bien dérivable en 0 , mais f(0) = 0 et g n'est donc pas dérivable en f(0).
Cependant gof est dérivable en 0. En effet:

3) Probabilités conditionnelles......évènements indépendants

On définit, pour deux évènements A et B , la probabilité de A sachant B (i.e. sachant que B est réalisé) et on la note p_B(A). Rappelons la définition qui en est donnée.

Par définition : p_B(A) = p(A Ç B) / p(B) (1)

Cette définition laisse perplexe la plupart des élèves. En fait pour comprendre sa signification, il y a intérêt à se placer dans le cas où l'espace probabilisé W est fini et où les évènements élémentaires sont équiprobables. On sait, qu'alors, on a pour tout évènement Z : p(Z) = Card(Z)/Card(W)

P(Z) peut se comprendre comme étant "la proportion (ou le pourcentage!) d'éléments de W qui sont dans Z". Si, par exemple, Z contient 13% des éléments de W (les éventualités) alors on a :
p(Z) = 0,13 = 13 chances sur 100.

Or lorsque B est réalisé, les éventualités qui réalisent A sont celles de A Ç B il est donc naturel de poser :
p_B(A) = Card(A Ç B) / Card(B) (tout comme si B jouait le rôle de W)

Il suffit alors il suffit alors de diviser les deux termes de ce rapport par Card(W) pour retrouver la définition ci-dessus.

Ceci étant dit, il y a une autre définition qui provoque la perplexité des élèves, c'est celles de deux évènements indépendants.....qui est :

Définition : A et B sont dits indépendants quand p(A Ç B) = p(A) P(B)

La formule (1) ci-dessus donne

p(A Ç B) = p_B(A) p(B) .

On voit donc que cela revient à dire que p_B(A) = p(A) or ceci est beaucoup plus naturel, puisque çà signifie que le fait de savoir que B est réalisé n'affecte pas la probabilité de A.

Bien sûr cette définition parait dissymétrique, mais en fait il n'en est rien car on a aussi :

p(A Ç B) = p_A(B) p(A)

donc : p_A(B) = p(B)

pour me contacter : gerard.cohenzardi@wanadoo.fr

retour page d'accueil